مگنتو هیدرودینامیک

مگنتو هیدرودینامیک (به انگلیسی: Magnetohydrodynamics) دینامیک شاره‌های رسانای الکتریکی همانند پلاسما و فلزات مایع را مورد مطالعه قرار می‌دهد. نظریه ام‌اچ‌دی یک نظریه‌ای شاره‌ای است که بر حسب پارامترهای ماکروسکوپی نظیر چگالی، فشار، دما، میدان سرعت شاره، و میدان مغناطیسی آن بیان می‌شود. همچنین، حرکت ذرات در پلاسما می‌تواند توسط فیزیک میکروسکوپی نظریه جنبشی، برحسب معادله بولتزمان و یا معادله ولاسوف، نیز، توصیف شود. اصطلاح ام‌اچ‌دی نخستین بار توسط هانس آلفن بکار برده شد. به دلیل کارهایی که وی در همین زمینه انجام داد و معرفی امواج آلفن جایزه نوبل فیزیک را در سال ۱۹۷۰ دریافت کرد. معادلات ام‌اچ‌دی بسته به شرایط مساله برحسب دسته‌های مختلفی از معادلات نوشته می‌شوند که در اینجا چند نمونه از معادلات کاربردی به ویژه در اخترفیزیک بیان شده‌اند.

انواع معادلات ام‌اچ‌دی

معادلات ام‌اچ‌دی ایده‌آل

بیشتر پلاسماهای اخترفیزیکی برحسب مجموعه‌ای از معادلات که معادلات ام‌اچ‌دی ایده‌آل خوانده می‌شوند، توصیف می‌شوند. در این دسته از معادلات فرض شده است که مقیاس زمانی فرایندهای ام‌اچ‌دی بسیار طولانی‌تر از فرایندهای تصادفی است که این شرط باقی ماندن تمامی انواع ذرات را در توزیع ماکسولی در تمامی زمان‌ها تضمین می‌کند و از آنجاکه یک پلاسما با توزیع ماکسولی ویسکوزیته و هدایت گرمایی صفر دارد، بنابراین این جملات در معادلات وارد نمی‌شوند پس از اثر نیروهای اتلافی صرفنظر می‌شود (همانند نیروهای ناشی از چسبندگی) این روابط شامل معادله پیوستگی(۱)، معادله تکانه(۲)، معادله حالت(۳)، معادلات ماکسول(۴-۶) و قانون اهم(۷) می‌باشند. معادلات به این شکل در می‌آیند:

(۱) D D t ρ = − ρ ∇ ⋅ v {displaystyle {frac {D}{Dt}}rho =-rho nabla cdot v!} ${displaystyle {frac {D}{Dt}}rho =-rho nabla cdot v!}$

(۲) ρ D D t v = − ∇ p − ρ g + J × B {displaystyle rho {frac {D}{Dt}}v=-nabla p-rho g+Jtimes B!} ${displaystyle rho {frac {D}{Dt}}v=-nabla p-rho g+Jtimes B!}$

(۳) D D t ( p ρ γ ) = ۰ {displaystyle {frac {D}{Dt}}left(prho ^{gamma }right)=0!} ${displaystyle {frac {D}{Dt}}left(prho ^{gamma }right)=0!}$

(۴) ∇ × B = 4 π J {displaystyle nabla times B=4pi J!} ${displaystyle nabla times B=4pi J!}$

(۵) ∇ × E = − ۱ c ∂ B ∂ t {displaystyle nabla times E=-{frac {1}{c}}{frac {partial B}{partial t}}!} ${displaystyle nabla times E=-{frac {1}{c}}{frac {partial B}{partial t}}!}$

(۶) ∇ ⋅ B = 0 {displaystyle nabla cdot B=0!} ${displaystyle nabla cdot B=0!}$

(۷) E = − ۱ c v × B {displaystyle E=-{frac {1}{c}}vtimes B!} ${displaystyle E=-{frac {1}{c}}vtimes B!}$

که در این روابط ρ {displaystyle rho !} ${displaystyle rho !}$ چگالی، v {displaystyle v!} ${displaystyle v!}$ سرعت، B {displaystyle B!} ${displaystyle B!}$ میدان مغناطیسی، E {displaystyle E!} ${displaystyle E!}$ میدان الکتریکی، P {displaystyle P!} ${displaystyle P!}$ فشار، J {displaystyle J!} ${displaystyle J!}$ چگالی جریان، و c {displaystyle c!} ${displaystyle c!}$ سرعت نور هستند. معادلات در دستگاه cgs نوشته شده‌اند. با تعریف نماد ریاضی زیر که در این معادلات بسیار ظاهر می‌شود:

{displaystyle {frac {D}{Dt}}={frac {partial }{partial t}}+vcdot nabla }

استفاده از معادلات ام‌اچ‌دی در برگیرنده تعدادی از تقریب‌های ضمنی می‌باشد:

۱. پلاسما از نظر الکتریکی خنثی است ρ = ۰ {displaystyle rho =0!} ${displaystyle rho =0!}$ .

۲. پلاسما عدد رینولد بسیار بزرگی دارد.

۳(۳). تقریب سرعت‌های غیر نسبیتی

معادلات ام‌اچ‌دی مقاومتی

با تغییراتی که در معادلات ایده‌آل داده می‌شود که مهم‌ترین آنها وارد کردن اثر نیروهای ویسکوزیته به مساله است معادلات به صورت زیر در می‌آیند:

D D t ρ = − ρ ∇ ⋅ v {displaystyle {frac {D}{Dt}}rho =-rho nabla cdot v} ${displaystyle {frac {D}{Dt}}rho =-rho nabla cdot v}$

∂ B ∂ t = ∇ × ( V × B ) − c 4 π σ ∇ ⋅ ∇ B {displaystyle {frac {partial B}{partial t}}=nabla times left(Vtimes Bright)-{frac {c}{4pi sigma }}nabla cdot nabla B} ${displaystyle {frac {partial B}{partial t}}=nabla times left(Vtimes Bright)-{frac {c}{4pi sigma }}nabla cdot nabla B}$

∇ × B = 4 π J {displaystyle nabla times B=4pi J} ${displaystyle nabla times B=4pi J}$

E = 1 4 π σ ∇ × B − ۱ c v × B {displaystyle E={frac {1}{4pi sigma }}nabla times B-{frac {1}{c}}vtimes B} ${displaystyle E={frac {1}{4pi sigma }}nabla times B-{frac {1}{c}}vtimes B}$

ρ D D t v = − ∇ F c − ∇ p − ρ g + J × B + F v {displaystyle rho {frac {D}{Dt}}v=-nabla F_{c}-nabla p-rho g+Jtimes B+F_{v}} ${displaystyle rho {frac {D}{Dt}}v=-nabla F_{c}-nabla p-rho g+Jtimes B+F_{v}}$

∇ ⋅ B = 0 {displaystyle nabla cdot B=0} ${displaystyle nabla cdot B=0}$

که در اینجا عمده‌ترین تغییر در معادله انرژی وارد شده است، F v {displaystyle F_{v}} ${displaystyle F_{v}}$ نیروی ویسکوزیته و ∇ F c {displaystyle nabla F_{c}} ${displaystyle nabla F_{c}}$ هدایت گرمایی را نشان می‌دهند. هرچند که این تغییرات وارد می‌شوند اما در هنگام بررسی و حل معادلات واقعی به ویژه در مسائل اختر فیزیک در مرتبه اول از اثر آنها صرفنظر می‌کنیم و آنها را به صورت اختلال به مساله وارد می‌کنیم.

معادلات MHD در فیزیک و به خصوص اخترفیزیک به اشکال دیگر نیز ظاهر می‌شوند.

MHD توسعه یافته

پدیده‌های را در پلاسما بررسی می‌کند که یک رده از معادلات مقاومتی بالاتر هستند که اثراتی همانند تغییرات فشار الکترونی و اینرسی الکترون‌ها و … را در نظر می‌گیرند، اما این معادلات تنها برای پلاسمای تک شاره کاربرد دارند.

MHD دوشاره‌ای

این معادلات برای پلاسماهایی که در آنها میدان الکتریکی قابل صرفنظر کردن نیست بکار برده می‌شوند. بنابراین ممنتوم الکترونها و یونها باید بصورت جداگانه در محاسبات وارد شود.

MHD بدون برخورد

این معادلات برای پلاسماهایی که در آنها از معادله ”ولاسوف“ استفاده می‌کنیم، بکار برده می‌شوند.

امواج MHD

امواج MHD امواجی هستند که از نظریه MHD پلاسما بدست می‌آیند و بطور کلی به دو دسته عمده تقسیم بندی می‌شوند: امواج آلفن، امواج ماگنتوسونیک. در زیر خواص عمده هر گروه از امواج نوشته شده است.

(۱)امواج آلفن:

تراکم ناپذیر

نوسانات عرضی

انتشار در امتداد خطوط میدان

نیروی ایجاد کننده منحصراً تنش مغناطیسی

(۲)امواج ماگنتوسونیک:

تراکم پذیر

میرا

نیروی ایجاد کننده هم تنش مغناطیسی و هم فشار گاز

شکل زیر مقایسه مدهای مختلف امواج MHD به ویژه سرعت آنها را نمایش می‌دهد.

در این شکل سرعت فاز v p {displaystyle v_{p}} ${displaystyle v_{p}}$ امواج ماگنتوسونیک، برای نسبت c s v p = 0.7 {displaystyle {frac {c_{s}}{v_{p}}}=0.7} ${displaystyle {frac {c_{s}}{v_{p}}}=0.7}$ رسم شده است. سرعت صوت c s {displaystyle c_{s}} ${displaystyle c_{s}}$ دایره وسط نقطه چین و سرعت آلفن v p {displaystyle v_{p}} ${displaystyle v_{p}}$ با خط تیره مشخص شده‌اند. مدهای سریع و کند ماگنتوسونیک با خطوط ضخیم‌تر نشان داده شده‌اند. همانگونه که در شکل دیده می‌شود امواج آلفن جواب‌های میانی که در بین دو دسته جواب امواج کند و سریع ماگنتوسونیک قرار می‌گیرند به همین دلیل به آنها مد میانی نیز گفته می‌شود.

کاربردها

اختر فیزیک

امروزه بطور گسترده‌ای از این نظریه در مباحث تحقیقی اختر فیزیک استفاده می‌شود. در بررسی ماده بین ستاره‌ای، ماده بین سیاره‌ای، بادهای خورشیدی، تاج خورشید، سیستم‌های حاکم بر دینامیک ستاره‌ها و … بطور گسترده‌ای از این نظریه استفاده می‌شود. یکی از جدیدترین مباحثی که هم اکنون سعی در حل آن با استفاده از نظریه MHD می‌شود مساله گرمایش تاج خورشید می‌باشد. با مشاهدات صورت گرفته مشخص شده است که دمای سطح خورشید از مرتبه چند هزار درجه کلوین و دمای قسمت‌های بالاتر یعنی اتمسفر و یا بطور مشخص تر تاج خورشید از مرتبه چند میلیون درجه کلوین می‌باشد که این مساله ظاهرا با قوانین ترمودینامیک سازگار نمی‌باشد برای توجیه این پدیده عجیب مکانیسم‌های گوناگونی تاکنون پیشنهاد شده است که به نظر می‌رسد نظریه اتلاف امواج آلفن منتج شده از نظریه MHD پلاسما و میرایی تشدیدی آنها بهترین گزینه برای توجیه این پدیده می‌باشد.

ژیوفیزیک

هسته سیال زمین و سایر سیارات با استفاده از این نظریه مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

مهندسی

در مواردی همانند سرد شدن فلزات مایع رآکتورهای هسته‌ای، الکترومغناطیس و… کاربرد دارد.